През 1953 г. Бломстет печели диригентската награда „Кусевицки“, година по-късно прави професионалния си дебют с Кралския филхармоничен оркестър на Стокхолм, а през 1955 г. печели диригентския конкурс в Залцбург.
Бломстет ръководи Симфоничния оркестър на Сан Франциско от 1985 до 1995 г., а кариерата му продължава повече от седем десетилетия. Той заема ръководни постове и в редица оркестри в Швеция, Дания, Норвегия и Германия, сред които оркестърът „Гевандхаус“ в Лайпциг, а също така дирижира Виенската филхармония.
Последната му изява е на 15 май със Симфоничния оркестър на Сан Франциско, когато дирижира Деветата симфония на Густав Малер. Заради затруднения по време на изпълнението концертът е прекъснат за няколко минути, а следващите му участия са отменени.
Бломстет печели две награди „Грами“ за записи със Симфоничния оркестър на Сан Франциско – през 1993 г. за „Кармина Бурана“ на Карл Орф и през 1996 г. за „Немски реквием“ на Йоханес Брамс. Въпреки напредналата си възраст той е продължавал да приема ангажименти, като сред тях е концерт с Виенската филхармония, планиран за юни 2027 г., малко преди да навърши 100 години, отбелязва Асошиейтед прес.
Бломстет е последовател на Църквата на адвентистите от седмия ден и е определял себе си като „проповедник на музиката“. „Мисията ми е да поднеса хубава музика на възможно най-много хора“, казва той в интервю през 2020 г.
След себе си Бломстет оставя четири дъщери и седем внуци.