Хамрин, който бе наричан Малката птичка заради своята бързина елегантност в играта по крилото, спечели сребърен медал с националния отбор на Швеция на световното първенство през 1958 година. Той бе последният жив играч от финала, в който Швеция губи с 2:5 от Бразилия, а Краля на футбола Пеле печели първата си световна титла.
"Една от големите легенди на швейския футбол ни напусна. Почивай в мир, Куре", написаха от Шведската футболна асоциация.
Хамрин започва кариерата си в местния АИК през 1952 година, но прекарва основната част от състезателните си дни в Италия, където играе последователно за Ювентус, Падуа, Фиорентина, Милан и Наполи. Той е девети във вечната ранглиста на Серия "А" по отбелязани голове със 190. 150 от тях той реализира за тима на Фиорентина, за който играе между 1958 и 1967 година.
За "виолетовите" шведът има общо 208 попадения, като е рекордьор на клуба по вкарани голове и с основна заслуга за спечелената през 1961 година Купа на носителите на национални купи, която е единственият международен трофей в историята на клуба.
С Милан той печели този трофей още веднъж, както и по веднъж титлата в Италия и КЕШ. Кариерата си Хамрин завършва в Швеция в тима на ИФК Стокхолм.
След края на състезателните си дни Курт Хамрин живееше в любимия си град Флоренция.