Хърватинът имаше проблеми от известно време и пропусна загубата с 0:1 от Кристъл Палас на финала за Купата на Футболната асоциация миналия месец.
"Матео ще прекара лятото във възстановяване от операцията и всички в клуба му желаят всичко да бъде наред", се казва в изявление на клуба.
31-годишният футболист не беше включен в състава на Хърватия за квалификациите за Световното първенство срещу Гибралтар на 6 юни и срещу Чехия на 9 юни.
Ковачич отбеляза 7 гола в 42 мача за Сити през изминалия сезон във всички турнири.
Английският тим започва кампанията си на Световното клубно първенство в САЩ на 18 юни срещу Видад (Мароко).